7.B8 Ableiten von Potenzfunktionen

Die Potenzfunktion

Die Aufgabestellung lautet, ganz allgemein, den Grenzwert des Differenzenquotienten für die Potenzfunktion $$\mathbf{f(x)=x^n}$$ zu ermitteln.

1. Der Grenzwert des Differenzenquotienten lautet: $$\lim_{h\rightarrow 0} \frac{(x+h)^n-x^n}{h}$$
2. Formeln für $(x+h)^2=x^2+2xh+h^2$
   oder auch für $(x+h)^3=x^3+3x^2h+3xh^2+h^3$ hätte man zur Verfügung. Wie lautet die allgemeine Formel?
3. Die Summanden sind übersichtlich aufgebaut. Während der Exponent von $x$ sinkt, steigt der Exponent von $h$ an.
4. Wie erhält man die Koeffizienten (1-2-1, 1-3-3-1, usw.).
5. Hier ist die Verknüpfung zu einem Kapitel aus der Wahrscheinlichkeitsrechnung bzw. der Kombinatorik – der Binomialkoeffizient.
6. Mit einem Koeffizienten davor ergibt sich also für eine beliebige binomische Formel: $(x+h)^n=x^n+\binom{n}{1}x^{n-1}h+\binom{n}{2}x^{n-2}h^2+\binom{n}{3}x^{n-3}h^3\dots$

Bildung des Differentialquotienten

1. Mit dieser allgemeinen Potenzfunktion soll nun der Grenzwert des Differenzenquotienten gebildet werden.
   $$\lim_{h\rightarrow 0} \frac{(x+h)^n-x^n}{h}$$
2. $(x+h)^n$ wird ersetzt. $$\lim_{h\rightarrow 0} \frac{x^n+\binom{n}{1}x^{n-1}h+\binom{n}{2}x^{n-2}h^2+\binom{n}{3}x^{n-3}h^3\dots-x^n}{h}$$
3. Das erste und das letzte $x^n$ im Zähler fällt weg $$\lim_{h\rightarrow 0} \frac{\binom{n}{1}x^{n-1}h+\binom{n}{2}x^{n-2}h^2+\binom{n}{3}x^{n-3}h^3\dots}{h}$$
4. In jedem Summanden des Zählers ist zumindest ein $h$ enthalten, das mit dem Nenner gekürzt werden kann. Das ergibt: $$\lim_{h\rightarrow 0} \left(\binom{n}{1}x^{n-1}+\binom{n}{2}x^{n-2}h+\binom{n}{3}x^{n-3}h^2\dots \right)$$
5. Wird für $h\rightarrow 0$ angenähert, werden alle Summanden bis auf den ersten verschwindend klein.$$\binom{n}{1}x^{n-1}$$
6. Berechne den Binomialkoeffizienten $$\binom{n}{1}=\frac{n!}{(n-1)!\cdot 1!}=n$$

Ableitung der Potenzfunktion

📘Satz
Die Ableitung der Potenzfunktion $f(x)=x^n$ lautet $f'(x)=n\cdot x^{n-1}$

Die Ableitung der Potenzfunktion muss also nicht mehr durch Bildung des Grenzwerten des Differenzenquotienten berechnet werden, sondern man erhält sie durch Anwenden der Formel

Übung

Berechne die Ableitung der Potenfunktionen

1. $f(x)=x^3$,
2. $g(x)=x^5$,
3. $h(x)=x^{99}$

Lösung:

1. $f'(x)=3x^2$,
2. $g'(x)=5x^4$,
3. $h'(x)=99x^{98}$