Polynomfunktion
Die Polynomfunktion ist eine Summe von Vielfachen von Potenzfunktionen mit ganzzahligen Exponenten aufgebaut.
Um von der Ableitung der Potenzfunktionen zur Ableitung von Polynomfunktionen zu gelangen, benötigt man zusätzlich zur Ableitungsregel für Potenzfunktionen noch zwei sehr grundsätzliche (fast schon selbstverständliche) Ableitungsregeln.
Ableitung einer Summe von Funktionen
Ohne Beweis gilt folgender
und allgemeiner auch für das Vielfache von Funktionen:
$$\left(c\cdot f(x)\right)’=c\cdot f'(x)$$
Ableitung der Polynomfunktion
Die Ableitung der Polynomfunktion gestaltet sich in Folge nicht weiter schwierig. Nacheinander werden die Potenzfunktionen abgeleitet und Schritt für Schritt die Ableitung der Polynomfunktion durch Summieren (oder Differenzbildung) ermittelt.
Beispiel
Berechne die Ableitung der Polynomfunktion $f(x)=2x^3-x^2+5x-1$
Lösung
$f'(x)=6x^2-2x+5$
Informationen aus der Ableitung
Welche Informationen gewinnt man also nun, wenn man die Ableitung der Polynomfunktion gebildet hat?
Außer dem Funktionsterm der Funktion $f(x)$ steht also jetzt ein zweiter Funktionsterm der Ableitung der Funktion $f'(x)$ zur Verfügung.
Umkehrungen
Nachdem nun Terme zur Berechnung der Steigung zur Verfügung stehen, können die Aufgabestellung auch umgekehrt lauten.
Anstatt Gegeben ist eine Stelle $x$, berechne die Steigung.
Die Umkehrung Gegeben ist eine Steigung, berechne die zugehörige Stelle $x$. Ein und dieselbe Gleichung muss lediglich auf $x=…$ umgeformt werden.
Einsetzen der Stelle x in den Funktionsterm Man erhält zu jeder beliebigen Stelle $x$ den zugehörigen Funktionswert $f(x)=y$.
Mit Hilfe des Funktionsterms können also die Koordinaten aller Punkte des Graphen $(x,f(x))$ berechnet werden.
Einsetzen der Stelle x in den Term der Ableitung der Funktion Man erhält zu jeder beliebigen Stelle $x$ die zugehörige Steigung der Tangente an die Funktion. Kurz spricht man auch von der Steigung der Funktion selbst. $k=f'(x)$.
Mit Hilfe des Terms der Ableitung der Funktion kann die Steigung $f'(x)$ der Funktion in allen Punkten $(x,f(x))$ des Graphen berechnet werden.
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