Die Fakultät
Für Berechnungen in der Wahrscheinlichkeitsrechnung gibt es Vorgangsweisen bei Rechnungen, die man nicht mit herkömmlichen Rechenoperatoren (+, -, …) abbilden kann.
Beispiel
Wie viele Möglichkeiten gibt es für eine Gruppe von 4 Personen, sich 4 Plätze im Zug aufzuteilen?
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- 1. Person wählt frei: 4 Möglichkeiten
- 2. Person: 3 verbleibende Sitze
- 3. Person: 2 verbleibende Sitze
- 4. Person: Keine Wahl mehr, muss den letzten Platz nehmen
$n=4\cdot 3\cdot 2\cdot 1=24$ Möglichkeiten
Als Kurzschreibweise definiert man das Rufzeichen als Operator und schreibt: 4!
📘 Definition
Die Zahl $$n!=n\cdot (n-1)\cdot (n-2) \cdot \dots \cdot 2 \cdot 1 = \prod_{k=1}^{n} k$$ wird als n Faktorielle bzw. gleich oft als n Fakultät bezeichnet.
Der Binomialkoeffizient
Der Binomialkoeffizient wird mit zwei Beispielen schrittweise erläutert:
Beispiel
Wie viele Möglichkeiten gibt es, aus deiner Klasse (19 Schüler/innen) ein 4er Team für eine Gruppenarbeit zu formen, in dem jede/r eine andere Funktion hat (Teamleiter/in, Protokollant/in, Beobachter/in, Arbeiter/in)?
Das Beispiel ist dem vorigen ähnlich, es gibt aber mehr Personen, die sich um die beschränkten Sitzplätze streiten.
- Für die TeamleiterIin gibt es 19 Möglichkeiten,
- für die Protokollant/in nur noch 18,
- für die Beobachterin 17 und
- für die Arbeiter/in letztlich 16.
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$n=19\cdot 18\cdot 17\cdot 16=93.024$ Möglichkeiten$
Hierzu gibt es keine kürzere Schreibweise.
- $19!$ bedeutet $19\cdot 18\cdot 17\cdot 16\cdot 15\cdot \dots \cdot 3\cdot 2\cdot 1$.
- Um nur die ersten vier Summanden zu erhalten benötigt man die Bruchrechnung: $$\frac{19\cdot 18\cdot 17\cdot 16\cdot 15\cdot \dots \cdot 3\cdot 2\cdot 1}{15\cdot \dots \cdot 3\cdot 2\cdot 1}$$
- Damit sich alle Faktoren von 15 abwärts rauskürzen, könnte man also schreiben $$\frac{19!}{15!}$$
Beispiel
Eigentlich klingt dieses Beispiel einfach, eine ähnliche Anwendung kommt auch viel öfter vor:
Wie viele Möglichkeiten gibt es, aus deiner Klasse (19 Schüler/innen) ein 4er Team für eine Gruppenarbeit zu formen, (in dem es keine besonderen Rollen gibt)?
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- Der Unterschied zum vorigen Beispiel beschränkt sich darauf, dass es sich bei Teams, die aus den selben Personen bestehen, aber unterschiedliche Aufteilung der Aufgaben hätten, um keine zusätzlichen Lösungen handelt.
- Zuvor erhielten wir $\frac{19!}{15!}=93.024$ Möglichkeiten,
- diese enthielten aber für jede 4er Gruppe viele Versionen mit gleichen Personen, aber unterschiedlichen Aufgabenaufteilungen. Dieses zählen alle nicht.
- Eine 4er Gruppe kann auf $4\cdot 3\cdot 2\cdot 1=24$ Möglichkeiten die unterschiedlichen Aufgaben (wie Sitzplätze) verteilen.
- Das Ergebnis von vorhin muss also durch 24 dividiert werden.
- Die Lösung ist: $\frac{93.024}{24}=3876$ unterschiedliche 4er Gruppen können aus eurer Klasse gebildet werden.
Auch das ließe sich kürzer anschreiben. Kombiniert man die Schreibweise von vorhin, erhält man mit der zusätzlichen Division durch $4!$ einfach
$$\frac{19!}{15!\cdot 4!}$$
📘 Definition
Die Zahl $$\binom{n}{k}=\frac{n!}{k!\cdot (n-k)!}$$ wird als Binomialkoeffizient bezeichnet. Gelesen wird dieser als n über k.
Dieser Binomialkoeffizient erscheint bei der Wahrscheinlichkeitsrechnung, enthält allerdings Wortteile, die man aus der Algebra kennt…
Das deutet schon darauf hin, dass sich dieser Ausdruck an den verschiedensten Stellen der Mathematik wiederfindet. Versuche, ihn als etwas Besonderes in deinem Mathematikgedächtnis abzulegen.
- Aufgabenblatt 7.D4 Faktorielle und Binomialkoeffizient
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