7.B1 1
(1) Berechne den Differenzenquotient der Funktion $f(x)=\frac{1}{x}$ im Intervall $x \in [1;2]$.
$\frac{\frac{1}{x_2}-\frac{1}{x_1}}{x_2-x_1}=\frac{\frac{1}{2}-\frac{1}{1}}{2-1}=-\frac{1}{2}$
(2) Stelle den Differenzenquotient dieser Funktion im angegebenen Intervall mit Hilfe von GeoGebra dar.
Geogebra (Link)
7.B1 2
In einer Section Control wird die durchschnittliche Geschwindigkeit eines PKWs gemessen, indem am Tunneingang ($T_E$) und am Tunnelausgang ($T_A$) die Durchgangszeit genommen wird.
$T_E=12:23:09$
$T_A=12:24:16$
Die Tunnellänge beträgt 1510 m.
(1) Wie hoch ist die durchschnittliche Geschwindigkeit des PKWs im Tunnel.
$T_A-T_E=67s$
$\frac{1510}{67}=23.284\frac{m}{s}$
$23.284\cdot 3.6=83.821 \frac{km}{h}$
(2) Hat der PKW die Geschwindigkeitsbeschränkung von 80 km/h (a) eingehalten oder (b) garantiert überschritten?
(a) Nein.
(b) Eine durchschnittliche Geschwindigkeit größer als 80 km/h bedeutet, dass der PKW diese zumindest teilweise überschritten hat, selbst wenn er in anderen Streckenteilen eine geringere Geschwindigkeit gehabt hat.
7.B1 3
Gegeben ist die Preisentwicklung eines Mobiltelefons in folgender Tabelle
| Jahr | Preis |
|---|---|
| 2019 | 999 € |
| 2020 | 959 € |
| 2021 | 799 € |
| 2022 | 599 € |
| 2023 | 499 € |
- Berechne die durchschnittliche Änderungsrate (= Differenzenquotienten) des Preises im Zeitbereich $[2021;2023]$ Durchschnittliche Änderungsrate: -150 €/y.
- In welchem einjährigen Abschnitt ist die durchschnittliche Änderungsrate am größten? Im Abschnitt $[2021;2022]$.
- Wie stark fällt der Preis durchschnittlich im gesamten 4-Jahresbereich? Durchschnittliche Änderungsrate: -125 €/y.
- Kann man aus der durchschnittlichen Änderungsrate für den 4-Jahresbereich ableiten, dass der Preis konstant gefallen ist? Nein.
7.B1 4
Gegeben ist die Funktion $f(x)=2x+1$.
- Berechne den Differenzenquotienten im Bereich $[1;2]$, $[2;3]$ und $[3;4]$. $d_{1,2}=2$, $d_{2,3}=2$, $d_{2,3}=2$
- Berechne den Differenzenquotienten im Bereich $[1;2]$, $[1;3]$ und $[1;4]$. $d_{1,2}=2$, $d_{1,3}=2$, $d_{1,3}=2$
- Fasse für die Lineare Funktion zusammen. Der Differenzenquotient für eine lineare Funktion ist in jedem beliebigen Intervall konstant.
7.B1 5
Gegeben ist die Funktion $f(x)=x^2-1$.
- Berechne den Differenzenquotienten im Bereich $[0;1]$ und $[1;2]$.
$d_{0,1}=1$; $d_{1,2}=3$
- Berechne den Differenzenquotienten im Bereich $[-1;1]$ und $[-2;2]$.
$d_{-1,1}=0$; $d_{-2,2}=0$
Theorie 7.B1 Definition Differenzenquotient
Übungsbeispiele 7.B1.B Definition Differenzenquotient