7.B1 Definition Differenzenquotient

 

ūüďė¬†Definition

Die Zahl $$k=\frac{f(x_2)-f(x_1)}{x_2-x_1}$$ bezeichnet man als Differenzenquotient oder mittlere √Ąnderungsrate der Funktion $f(x)$ im Intervall $[x_1;x_2]$.

Beschreibung

  1. Der Differenzenquotient wird immer in einem bestimmten Intervall, also von $x_1$ bis $x_2$ berechnet.
  2. Der Differenzenquotient beschreibt die Steigung der Geraden, die durch die Punkte $P_1\left(x_1,y_1\right)$ und $P_2\left(x_2,y_2\right)$ verläuft (siehe 7.B2 Geometrische Deutung des Differenzenquotienten)
  3. Der Differenzenquotient ist also eine mittlere (=durchschnittliche) Steigung der Funktion im Intervall $[x_1,x_2]$.

Darstellung mit Hilfe von Geogebra (Link)

Anwendung

Im Gegensatz zu momentanen √Ąnderungsraten, lassen sich durchschnittliche √Ąnderungsraten (=Differenzenquotienten) von praktischen Aufgaben immer relativ einfach berechnen.

Beispiel1

Die Geschwindigkeit eines Fahrrads kann gemessen bzw. berechnet werden, indem man die Positionen des Fahrrads zu zwei bestimmten Zeiten ($t_1$ und $t_2$) misst und mit den erhaltenen Werten eine durchschnittliche Geschwindigkeit berechnet.

Das Fahrrad legt in einer Zeit von 0.8 Sekunden genau 10 m zur√ľck.
Die Geschwindigkeit beträgt $\frac{10}{0.8}=12.5 \frac{m}{s}$.

Man nimmt an, dass sich die Geschwindigkeit in diesem Bereich nicht ma√ügeblich √§ndert, deshalb n√§hert man mit dieser „durchschnittlichen“ Geschwindigkeit die „momentane“ Geschwindigkeit recht gut an

Beispiel 2

Ein Swimmingpool ist scheinbar leck. Innerhalb von 24 Stunden reduziert sich der Wasserstand um 5cm.

Die √Ąnderungsrate ist demnach $\frac{5}{24}=0.208 \frac{cm}{h}$.

Man nimmt an, dass sich die Geschwindigkeit des unkontrollierten Abflusses nicht ma√ügeblich √§ndert, deshalb entspricht auch hier die „durchschnittliche“ Geschwindigkeit die „momentane“ Geschwindigkeit.


Beispiel 3

Die Temperatur einer Bremsscheibe erhitzt sich mit zunehmender Bremsstrecke.

Bei einer Bremsstrecke von 50 m erhitzt sich die Scheibe um $90¬įC$. Die √Ąnderungsrate ist demnach $\frac{90}{50}=0.56 \frac{¬įC}{m}$.

Man vermutet, dass die Temperatur nicht gleichm√§√üig (=linear) mit der Bremsstrecke steigt, die „durchschnittliche“ √Ąnderungsrate ist deshalb eher keine gute Ann√§herung f√ľr die „momentane“ √Ąnderungsrate


√úberlegung

Entspricht die durchschnittliche Steigung der momentanen Steigung?
Wie kann das im Graph dargestellt werden?

Zwei Beispiele mit GeoGebra

  1. Keine gute Annäherung РGeoGebra Beispiel (Link)
  2. Gute Annäherung РGeoGebra Beispiel (Link)