7.B1 Definition Differenzenquotient

 

📘 Definition

Die Zahl $$k=\frac{f(x_2)-f(x_1)}{x_2-x_1}$$ bezeichnet man als Differenzenquotient oder mittlere Änderungsrate der Funktion $f(x)$ im Intervall $[x_1;x_2]$.

Beschreibung

  1. Der Differenzenquotient wird immer in einem bestimmten Intervall, also von $x_1$ bis $x_2$ berechnet.
  2. Der Differenzenquotient beschreibt die Steigung der Geraden, die durch die Punkte $P_1\left(x_1,y_1\right)$ und $P_2\left(x_2,y_2\right)$ verläuft (siehe 7.B2 Geometrische Deutung des Differenzenquotienten)
  3. Der Differenzenquotient ist also eine mittlere (=durchschnittliche) Steigung der Funktion im Intervall $[x_1,x_2]$.

Darstellung mit Hilfe von Geogebra (Link)

Anwendung

Im Gegensatz zu momentanen Änderungsraten, lassen sich durchschnittliche Änderungsraten (=Differenzenquotienten) von praktischen Aufgaben immer relativ einfach berechnen.

Beispiel1

Die Geschwindigkeit eines Fahrrads kann gemessen bzw. berechnet werden, indem man die Positionen des Fahrrads zu zwei bestimmten Zeiten ($t_1$ und $t_2$) misst und mit den erhaltenen Werten eine durchschnittliche Geschwindigkeit berechnet.

Das Fahrrad legt in einer Zeit von 0.8 Sekunden genau 10 m zurück.
Die Geschwindigkeit beträgt $\frac{10}{0.8}=12.5 \frac{m}{s}$.

Man nimmt an, dass sich die Geschwindigkeit in diesem Bereich nicht maßgeblich ändert, deshalb nähert man mit dieser „durchschnittlichen“ Geschwindigkeit die „momentane“ Geschwindigkeit recht gut an

Beispiel 2

Ein Swimmingpool ist scheinbar leck. Innerhalb von 24 Stunden reduziert sich der Wasserstand um 5cm.

Die Änderungsrate ist demnach $\frac{5}{24}=0.208 \frac{cm}{h}$.

Man nimmt an, dass sich die Geschwindigkeit des unkontrollierten Abflusses nicht maßgeblich ändert, deshalb entspricht auch hier die „durchschnittliche“ Geschwindigkeit die „momentane“ Geschwindigkeit.


Beispiel 3

Die Temperatur einer Bremsscheibe erhitzt sich mit zunehmender Bremsstrecke.

Bei einer Bremsstrecke von 50 m erhitzt sich die Scheibe um $90°C$. Die Änderungsrate ist demnach $\frac{90}{50}=0.56 \frac{°C}{m}$.

Man vermutet, dass die Temperatur nicht gleichmäßig (=linear) mit der Bremsstrecke steigt, die „durchschnittliche“ Änderungsrate ist deshalb eher keine gute Annäherung für die „momentane“ Änderungsrate


Ãœberlegung

Entspricht die durchschnittliche Steigung der momentanen Steigung?
Wie kann das im Graph dargestellt werden?

Zwei Beispiele mit GeoGebra

  1. Keine gute Annäherung – GeoGebra Beispiel (Link)
  2. Gute Annäherung – GeoGebra Beispiel (Link)