7.B5 Berechnung Differentialquotient

Der Differentialquotient an der Stelle $x$ ist der Grenzwert des Differenzenquotienten im Intervall $[x;x+h]$, wobei $h$ immer kleiner und schließlich (fast) Null wird.

Aber: Wie soll man diesen Grenzwert berechnen?

Aufgabe

Berechne den Differentialquotienten der Funktion $f(x)=x^2+1$ (1) allgemein an der Stelle x und anschließend konkret (2) an der Stelle $x=1$.

1. Berechne den Differentialquotienten und setze als untere Grenze $x$ und als obere Grenze $x+h$ ein.
   $$k=\frac{\left((x+h)^2+1\right)-\left(x^2+1\right)}{h}$$
2. Grenzwert: $h$ soll gegen Null gehen, das kann aber nicht einfach durch Einsetzen berechnet werden, es entstünde eine Division durch Null.
   $$k=\frac{\left((x+0)^2+1\right)-\left(x^2+1\right)}{0}$$
   
3. Den Ausdruck aus 1. kann man aber zuvor vereinfachen.
   $$
   \begin{eqnarray}
   k&=&\frac{\left((x+h)^2+1\right)-\left(x^2+1\right)}{h}\\
   k&=&\frac{\left((x^2+2 x\cdot h+ h^2+1\right)-\left(x^2+1\right)}{h}\\
   k&=&\frac{x^2+2 x\cdot h+ h^2+1-x^2-1}{h}\\
   k&=&\frac{2 x\cdot h+ h^2}{h}\\
   k&=&2 x + h
   \end{eqnarray}
   $$
4. Nun kann der Grenzwert durch Einsetzen gebildet werden.
   $$
   \begin{eqnarray}
   k &=& \lim_{z\rightarrow 0}\left(2x+h\right)\\
   k &=& \left(2x+0\right)
   \end{eqnarray}
   $$
5. Abschließend wird für die Stelle $x=1$ eingesetzt und der Differentialquotient ermittelt.
   $$k=2\cdot 1=2$$

Diese Vorgangsweise scheint kompliziert, reduziert sich aber immer auf den Rechnungsschritt 3.

Letztlich wird aber eine wesentliche Abkürzung gefunden, wie die oben vorgezeiten 5 Punkte zukünftig nicht mehr berechnet werden müssen.

Der oben ermittelte, allgemeine Term für den Differentialquotienten, bei dem die Stelle $x$ erst eingesetzt werden kann, ist wiederum als Funktion zu interpretieren. Sie gehört zur Funktion $f(x)$ und wird als deren Ableitung $\mathbf{f'(x)}$ bezeichnet.