Das Ermitteln der relativen Änderung des Funktionswertes in einem bestimmten Intervall entspricht dem Berechnen des Differenzenquotienten.
Beispiel
Wie ermittelt man die Geschwindigkeit eines Skifahrers an einer bestimmten Stelle im Skirennen?
Um die Geschwindigkeit eines Skifahrers bei einem Rennen zu messen, ist es ausreichend, an zwei kurz aufeinander folgenden Stellen die Zeit zu nehmen und mit Hilfe des Abstandes seine Geschwindigkeit zu berechnen (wiederum: Differenzenquotient).
Nun gut: Aber – Wie ermittelt man aber die ganz genaue Geschwindigkeit an einer bestimmten Stelle?
Das Verständnis ergibt exakt den mathematischen Zugang: Miss die Durchgangszeit des Skifahrers an zwei ganz knapp aufeinanderfolgenden Punkten, dann erhältst du (nach Division durch die kurze Strecke ziemlich genau) die jeweilige Geschwindigkeit. Die Genauigkeit wird steigen, je kürzer die beiden Messpunkte aufeinander folgen.
Mathematischer Ansatz im Funktionsgraphen
Für die Berechnung der Steilheit eines Funktionsgraphen lässt sich diese Vorgangsweise skizzieren (Link).
Mathematische Schreibweise
Der Differenzenquotient: $$k_{\mathrm{durchschnittl.}}=\frac{f(x_2)-f(x_1)}{x_2-x_1}$$
Die momentane Änderungsrate: $$k_{\mathrm{momentan}}=\lim_{x_2 \to x_1} \left(\frac{f(x_2)-f(x_1)}{x_2-x_1}\right)$$
Der Zugang ist einfach erklärt, wie das in der Folge berechnet wird, kommt in den nächsten Kapiteln auf dich zu.
Es bleibt übersichtlich.