Nur wenige Buchstaben unterscheiden den Differenzenquotienten (im Intervall) und den Differentialquotienten (an einer bestimmten Stelle).
Mathematisch ist die Vorgangsweise allerdings doch recht unterschiedlich.
📘 Definition
Die Zahl $$\lim_{x_2 \to x_1}\left(\frac{f(x_2)-f(x_1)}{x_2-x_1}\right)$$ bezeichnet man als Differentialquotient oder momentane Änderungsrate der Funktion $f(x)$ an der Stelle $x_1$.
Besser als die Schreibweise mit $x_1$ und $x_2$ ist die Version mit der Intervallbreite $z$, die immer kleiner wird, sich also letztlich dem Wert Null nähert (diesen aber nie erreicht…).
Ersetze:
$
\begin{equation}
\begin{split}
x_1 &= x \\\
x_2 &= x+h
\end{split}
\end{equation}
$
Im Nenner wird demnach aus $x_2-x_1=x+h-x=h$.
📘 Definition
Die Zahl $$\lim_{h \to 0}\left(\frac{f(x+h)-f(x)}{h}\right)$$ bezeichnet man als Differentialquotient oder momentane Änderungsrate der Funktion $f(x)$ an der Stelle $x$.
Egal ob $x_1$ und $x_2$ oder auch $x$ und $x+h$, die Vorgangsweise bleibt gleich und beschreibt lediglich die (im vorigen Kapitel näher gebrachten) Vorgangsweise.