Wenn durch die Multiplikation der linearen Terme $(x-x_1)$ mit $x_1$ ist Nullstelle die zugehörigen Polynomfunktionen erstellen kann, so ist es denkbar, dass die umgekehrte Richtung – eine Art „Division“ zum Zerlegen eines Polynoms dienen kann.
Die Polynomdivision ist ein händisches Verfahren, bei dem man, wie bei der händischen Division, schrittweise und durch Untereinanderschreiben der jeweils entstehenden Reste arbeitet.
Als Dividend dient ein Polynom, als Divisor für unsere Zwecke ein **Linearfaktor**.
🧾 Beispiel
Dividiere die Funktion
$f(x)=x^3+2x^2−13x+10=0$ (Polynom)
durch den (Linear-)faktor $(x−1)$
Lösung
$\left(x^3+2x^2−13x+10=0\right) :\left(x-1\right) =$
- Zuerst wird ermittelt, womit $(x-1)$ multipliziert werden muss, damit das Ergebnis mit $x^3$ beginnt.
Antwort: $(x-1)\cdot x^2 = x^3+\dots$ - Das gesamte Ergebnis wird unterhalb des Dividenden in der korrekten Postion angeschrieben.
$\left(x^3+2x^2−13x+10=0\right) :\left(x-1\right) =x^2+\dots$
$(x^3-x^2)$ - Die zweite Zeile wird von der ersten abgezogen und die nächste Stelle schreibt man „herunter“:
$\left(x^3+2x^2−13x+10=0\right) :\left(x-1\right) =x^2+\dots$
$\ \ x^3-x^2$
$\ \ 0+3x^2-13x$ - Beginne mit Schritt 1.
$(x-1)$ muss mit $3x$ multipliziert werden, um $3x^2+\dots$ zu erhalten
$\left(x^3+2x^2−13x+10=0\right) :\left(x-1\right) =x^2+3x^2$
$\ \ x^3-x^2$
$\quad \quad 3x^2-13x$
$\quad \quad 3x^2-3x$
$\quad \quad \quad \quad -10x+10$ - Der letzte Schritt
$\left(x^3+2x^2−13x+10=0\right) :\left(x-1\right) =x^2+3x^2-10$
$\ \ x^3-x^2$
$\quad \quad 3x^2-13x$
$\quad \quad 3x^2-3x$
$\quad \quad \quad \quad -10x+10$
$\quad \quad \quad \quad -10x+10$
$\quad \quad \quad \quad \quad 0x+0$ Rest - Die Division ist durchgeführt und es bleibt kein Rest.
🧟 **Bedeutet** Kennt man von einer Polynomfunktion dritten Grades eine Nullstelle, so lassen sich mit Hilfe der Polynomdivision und der kleinen Lösungsformel die restlichen beiden Lösungen ermitteln.