Den Grad einer algebraischen Gleichung kann man manchmal auch reduzieren, indem man statt $x^2$ eine neue Variable (im folgenden Beispiel $u$) setzt.
Das gelingt zum Beispiel, wenn ausschließlich gerade Potenzen von $x$ in der Gleichung vorkommen, aber auch bei anderen Vielfachen Potenzen (3, 4 usw. lässt sich diese Methode verwenden)
🧾 Beispiel
Welche Lösungen besitzt die algebraische Gleichung vierten Grades $x^4-2x^2-8=0$
Setze $u=x^2$
Aus der Gleichung wird damit: $u^2-2u-8=0$
Löse nach $u$: $u_{1,2}=1\pm \sqrt{1+8}$
und damit $u_1=4$ und $u_2=-2$
Nun muss noch zurückgerechnet werden:
Für $u_1$ gilt $u_1=4=x^2$ bzw. $x_{1,2}=\pm\sqrt{4}$
Für $u_2$ gilt $u_2=-2=x^2$ . Hier erhält man keine weitere Lösung.
Die Lösungen der Gleichung lauten:
$x_1=2$ und $x_2=-2$