Da die Lösungen von algebraischen Gleichungen, die Nullstellen von Polynomfunktionen und daraus folgend die Faktorisierung zusammenhängen, ergibt sich folgender Satz.
📘 Satz Besitzt ein Polynom $p(x)$ vom Grad n die Lösungen $x_1, x_2, x_3, \dots$, dann lautet die Faktorisierung $$p(x)=(x-x_1)\cdot(x-x_2)\cdot (x-x_3)\cdot \dots$$
Polynomfunktionen vom Grad n haben immer maximal n Nullstellen, oft aber auch weniger.
In solchen Fällen können so genannte „mehrfache“ Nullstellen auftreten, das bedeutet grafisch oft ein „Berühren“ der x-Achse und stellt sich folgendermaßen dar:
🧾 Beispiel
Ein Polynom 3. Grades hat die einfache Nullstelle $x_1=1$ und die doppelte Nullstelle $x_{2,3}=2$. Wie lautet der Term des Polynoms?
$p(x)=(x-x_1)\cdot (x-x_2) \cdot (x-x_3)=(x-1)\cdot (x-2)^2$
$=(x-1)\cdot (x^2-4x+4)=x^3-4x^2+4x-x^2+4x-4$
$p(x)=x^3-5x^2+8x-4$
Geogebra (Link)
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