Lösen durch Herausheben
Ist es möglich, $x$ (oder selten auch einen größeren Faktor) herauszuheben, wird die algebraische Gleichung mit dem Produkt-Null-Satz in zwei Teile zerlegt, die getrennt voneinander bearbeitet werden können.
📘 Satz
Folgende Äquivalenz bezeichnet man als
Produkt-Null-Satz:
$a\cdot b=0 ⇔ a=0 \vee b=0$
Folgende Äquivalenz bezeichnet man als
Produkt-Null-Satz:
$a\cdot b=0 ⇔ a=0 \vee b=0$
So reduziert sich der Grad der zu lösenden Gleichung zumindest um eins. Übrig bleibt evt. noch eine Gleichung vom Grad 2.
📘 Satz
Für eine quadratische Gleichung $x^2+p\cdot x+q=0$
mit der Diskriminante $\frac{p^2}{4}−q$ gilt:
$x^2+p\cdot x+q=0 \quad \Leftrightarrow \quad x=−\frac{p}{2}\pm \sqrt{\frac{p^2}{4}−q}$
Für eine quadratische Gleichung $x^2+p\cdot x+q=0$
mit der Diskriminante $\frac{p^2}{4}−q$ gilt:
$x^2+p\cdot x+q=0 \quad \Leftrightarrow \quad x=−\frac{p}{2}\pm \sqrt{\frac{p^2}{4}−q}$
⚠️ Beim Herausheben niemals eine Division durch x als „Äquivalenzumformung“ betrachten, ohne den Fall zu analysieren, dass der herausgehobene Faktor auch gleich Null sein könnte. Hier könnte eine weitere Lösung versteckt sein und ansonsten verloren gehen.