In diesem Kapitel folgt eine Auflistung für die Ableitung der wichtigsten Funktionen. Die Typen sind mit der betreffenden Stelle auf der Seite verknüpft.
Konstante Funktion
Lineare Funktion
Potenzfunktion
Summe von Funktionen
Vielfaches von Funktionen
Polynomfunktion
Wurzelfunktion
Gebrochen Rationale Funktion
Exponentialfunktion
Winkelfunktionen
– Sinusfunktion
– Cosinusfunktion
– Tangensfunktion
Konstante Funktion
Die Ableitung einer konstanten Funktion ist die Nullfunktion
Für die Funktion $f(x)$ und die reelle Zahl $c\in\mathbb{R}$ gilt:
$$f(x)=c\Rightarrow f'(x)=0$$
Beispiel
$f(x)=2,21$
$f'(x)=0$
Lineare Funktion
Die Ableitung der linearen Funktion ist die konstante Funktion mit dem Wert der Steigung der Geraden.
Für die lineare Funktion $f(x)$ und die reellen Zahlen $k\in\mathbb{R}$ und $d\in\mathbb{R}$ gilt: $$f(x)=k\cdot x+d \Rightarrow f'(x)=k$$
Beispiel
$f(x)=3x-1$
$f'(x)=3$
Potenzfunktion
Für die Potenzfunktion $f(x)$ und der natürlichen Zahl $n\in\mathbb{N}$ gilt: $$f(x)=x^n\Rightarrow f'(x)=n\cdot x^{n-1}$$
Herleitung der Ableitungsregel der Potenzfunktion (Link)
Beispiel
$f(x)=x^4$
$f'(x)=4x^3$
Summe von Funktionen
Die Summe mehrerer reeller Funktionen kann abgeleitet werden, indem die Summe aus den einzelnen abgeleiteten Funktionen gebildet wird.
Für die Funktionen $f(x)$ und $g(x)$ gilt: $$\left(f(x)+g(x)\right)’=f'(x)+g'(x)$$
Beispiel
$f(x)=x+x^2$
$f'(x)=1+2x$
Vielfaches von Funktionen
Das Vielfache einer reellen Funktion kann abgeleitet werden, indem das Vielfache aus den einzelnen abgeleiteten Funktionen gebildet wird.
Für die Funktionen $f(x)$ und die reelle Zahl $c\in \mathbb{R}$ gilt: $$\left(c\cdot g(x)\right)’=c\cdot f'(x)$$
Beispiel
$f(x)=\pi \cdot x^2$
$f'(x)=2\cdot \pi \cdot x$
Polynomfunktion
Die Ableitung einer Potenzfunktion, der Satz für die Ableitung der Summe von Funktionen und der Satz für die Ableitung des Vielfachen von Funktionen ergibt eine einfach Vorgangsweise für Ableitung von Polynomfunktionen
Beispiel
$f(x)=2x^4-x^3+x-0.4$
$f'(x)=8x^3-3x^2+1$
Wurzelfunktion
Die Ableitung einer Wurzelfunktion löst man mit Hilfe der Ableitung von Potenzfunktionen, in dem man mit rationalen Exponenten rechnet.
Beispiel
$f(x)=\sqrt[3]{x}$
$f(x)=x^\frac{1}{3}$
Mit Rechenaufwand:
$f'(x)=\frac{1}{3}\cdot x^{\frac{1}{3}-1}=\frac{1}{3}\cdot x^{-\frac{2}{3}}=\frac{1}{3}\cdot \frac{1}{\sqrt[3]{x^2}}$
Rationale Funktion
Die Ableitung einer gebrochen rationalen Funktion löst man mit Hilfe der Ableitung von Potenzfunktionen, in dem man mit negativen Exponenten rechnet.
Beispiel
$f(x)=\frac{4}{x^4}$
$f(x)=4\cdot x^{-4}$
$f'(x)=-16\cdot x^{-5}=-\frac{16}{x^5}$
Exponentialfunktion
Die Exponentialfunktion hat eine herausragende Eigenschaft. Ihre Steigung ist an jedem Punkt gleich ihrem Funktionswert.
Für die Funktion $f(x)=e^x$ gilt: $$f(x)=e^x\Rightarrow f'(x)=e^x$$
Beispiel
$f(x)=3 \cdot e^x$
$f'(x)=3\cdot e^x$
Winkelfunktion
Die Winkelfunktionen in der Folge aufgelistet
Sinusfunktion
Für die Funktion $f(x)=\sin{(x)}$ gilt: $$f(x)=\sin{(x)}\Rightarrow f'(x)=\cos{(x)}$$
Cosinusfunktion
Für die Funktion $f(x)=\cos{(x)}$ gilt: $$f(x)=\cos{(x)}\Rightarrow f'(x)=-\sin{(x)}$$
Tangensfunktion
Für die Funktion $f(x)=\tan{(x)}$ gilt: $$f(x)=\tan{(x)}\Rightarrow f'(x)=\tan^2(x)+1$$
Beispiel
$f(x)=\sin{(x)}+\cos{(x)}$
$f'(x)=\cos{(x)}-\sin{(x)}$
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