Mit dem Wissen über das Ermitteln von lokalen Extremstellen wird es möglich, für Sachaufgaben wie folgt vorzugehen
- Mathematische Beschreibung (Term für passende Funktion) finden
- Höchsten bzw. niedrigsten Wert herausrechnen
- Informationsgewinn auf die Aufgabe übertragen
So können z.B. kürzeste Verbindungswege, niedrigste Kosten oder viele, viele andere Daten errechnet werden, indem man mit Hilfe der ersten Ableitung Stellen ausfindig macht, an denen die Funktion eine horizontale Tangente besitzt.
Beispiel
Eine Freifläche soll umzäunt werden, es stehen 20m Zaun zur Verfügung. Wie muss der Zaun gespannt werden, dass eine möglichst große Fläche eingezäunt werden kann?
- Was soll maximal bzw. minimal werden? Die Fläche: $$\text{Zielfunktion: }A(a,b)=a\cdot b$$
- Gibt es eine Bedingung, die erfüllt werden muss, und die a und b in einer Formel vereint? Die Länge des Zauns beträgt 20m, also muss gelten $$\text{Nebenbedingung: }a+2\cdot b=20$$ oder umgeformt: $a=20-2b$.
- Nun kann eine Funktion erstellt werden, die nurmehr von einer Variable abhängig ist. $A(b)=(20-2b)\cdot b=20b-2b^2$
- Das Maximum dieser Funktion wird ermittelt, indem die erste Ableitung gleich Null gesetzt wird. Eine lokale Extremstelle liefert das Ergebnis.
$$A'(b)=$$20-4b=0 \Rightarrow b=5$$ - Ob die ermittelte Extremstelle Sinn ergibt, muss an dieser Stelle (mit Hausverstand) ermittelt werden. Hier z.B. würden Werte kleiner als Null keinen „Sinn“ ergeben.
Antwort: Die Fläche sollte mit den Ausmaßen 5m x10 m eingezäunt werden, um eine möglichst große Fläche zu umspannen.
Standarsierte Vorgangsweise
Die Vorgangsweise ist bei allen Extremwertaufgaben gleich, es empfiehlt sich, immer nach dem selben Schema vorzugehen.