Die Berechnung des Differentialquotienten ist mathematisch angeschrieben schwer leserlich und umständlich.
Zuerst bekommt der oben gebildete Grenzwert einen Namen.
📘 Definition Die Funktion $$f'(x)=\lim_{h\rightarrow0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}$$ heißt erste Ableitung von [latex]f(x)[/latex] und wird [latex]f'(x)[/latex] (sprich: „Eff-Strich-von-Ix“) bezeichnet.
Die Ableitung gibt die Steigung der Tangente an jeder beliebigen Stelle der ursprünglichen Funktion an.
Der besondere mathematische Vorgangsweise, das Intervall immer kleiner und kleiner zu machen wird ebenfalls mit einer neuen Kurzschreibweise Ausdruck verliehen.
📘 Definition Die Schreibweise $$f'(x)=\frac{dy}{dx}$$ steht für
$$f'(x)=\lim_{h\rightarrow0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}$$ und heißt Leibnitz Schreibweise
$$f'(x)=\lim_{h\rightarrow0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}$$ und heißt Leibnitz Schreibweise
Erklärung: Während der Differenzenquotient die Differenz der Funktionswerte dividiert durch die Differenz der x-Werte als
$$k=\frac{\Delta y}{\Delta x}$$
spricht man bei immer kleiner werdendem $\Delta x$ von so genannten „Differentialen“.
Der Differenzenquotient wird zum Differentialquotienten:
$$k=\frac{dy}{dx}$$