Mit dem Wissen über Nullstellen, Extremstellen und Wendestellen von Funktionen lassen sich aus bestimmten Vorgaben die zugehörigen Terme (gleichsam in umgekehrter Richtung) ermitteln.
Vorgangsweise
- Allgemeinen Funktionsterm anschreiben. Bei Polynomfunktionen empfiehlt sich die Verwendung von indizierten Variablen, um den Überblick zu behalten (z.B. $a_1, a_2, \dots$)
- Je nach Angabe die nötigen Ableitungen allgemein bilden. z.B. wird aus $f(x)=a_2\cdot x^2+a_1\cdot x+a_0$ die erste Ableitung
$f^{\prime}(x)=2a_2\cdot x+a_1\ $ - Die angegebenen Rahmenbedingungen in Funktionsterm, Ableitung oder zweite Ableitung einsetzen.
- Die Gleichungen in GeoGebra eingeben und mit gl1, gl2, gl3, … usw. bezeichnen
- Der Löse({gl1,gl2,…})-Befehl gibt die Lösungen für die allgemeinen Parameter $a_0, a_1, …$
Beispiel
Die Polynomfunktion $f(x)$ vom Grad 2 enthält den Punkt $P=(0\vert 3)$. Sie besitzt weiters den Tiefpunkt bei $(3\vert -2)$. Ermittle den zugehörigen Funktionsterm.
$$f(x)=a_2\cdot x^2+a_1\cdot x+a_0$$$$f^\prime (x)=2a\cdot x+b$$
Drei Parameter sind zu bestimmen zu bestimmen: $a_2, a_1$ und $a-0$.
Somit braucht man 3 Gleichungen, um eine eindeutige Lösung zu erhalten.
1. Gleichung
Der Graph … geht durch den Punkt $(0\vert 3)$
$\rightarrow f(0)=3$
$gl1:\ f(0)=a_2\cdot 0^2+a_1\cdot 0+a_0=3$
$gl1:\ a_0=3$
2. Gleichung
… hat den Tiefpunkt $(3\vert -2)$
$\rightarrow$ somit liegt auch der Punkt $(3\vert -2)$ auf dem Graphen $\rightarrow f(3)=-2$
$gl2:\ f(3)=a_2\cdot 3^2+a_1\cdot 3+a_0=-2$
$gl2:\ 9a_2+3a_1+a_0=-2$
3. Gleichung
… hat den Tiefpunkt $(3\vert -2)$
$\rightarrow f'(3)=0$
$gl3:\ f^{\prime}(3)=2a_2\cdot 3+a_1=0$
$gl3:\ 6a_2+a_1=0$
Lösen des Gleichungssystems mit oder ohne GeoGebra:
$gl1:\ a_0=3$
$gl2:\ 9a_2+3a_1+a_0=-2$
$gl3:\ 6a_2+a_1=0$
führt zu
$a_2=0.56; a_1=-3.33; a_0=3$
Die Funktionsgleichung lautet demnach:
$$\underline{\underline{f(x)=0.56\cdot x^2-3.33\cdot x+3} }$$
Welche Bedingungen führen zu welchen Gleichungen?
| Was ist gegeben | Wie sieht die Gleichung aus? |
| Nullstelle $x_0$ des Graphen | $gl1: f(x_0)=0$ |
| Punkt $P(x_0 \vert y_0)$ des Graphen | $gl1: f(x_0)=y_0$ |
| Extremstelle $x_0$ des Graphen | $gl1: f^{\prime}(x_0)=0$ |
| Hoch- oder Tiefpunkt $H(x_0\vert y_0)$ | $gl1: f(x_0)=y_0$ |
| $gl2: f^{\prime}(x)=0$ | |
| Wendepunkt $W(x_0\vert y_0)$ | $gl1: f(x_0)=y_0$ |
| $gl2: f^{\prime \prime}(x_0)=0$ | |
| Steigung k an der Stelle $x_0$ | $gl1: f^{\prime}(x_0)=k$ |
| Tangente $y=k\cdot x+d$ an der Stelle $x_0$ | $gl1: f^{\prime}(x_0)=k$ |
Beispiel in GeoGebra
