Begriffsdefinitionen
Notwendig oder hinreichend?
📘 Definition Wenn gilt: $$\text{Aus }A \text{ folgt } B$$ bzw.$$A \Rightarrow B$$
dann ist $A$ eine hinreichende Bedingung für $B \ $ bzw.
$B$ eine notwendige Bedingung für $A$.
Beispiel
A … Teilbar durch 4.
B … Teilbar durch 2.
Die Teilbarkeit durch 4 ist hinreichend („ausreichend„), um behaupten zu können, dass diese Zahl auch durch 2 teilbar ist.
Um durch 4 teilbar zu sein, ist es notwendig, durch 2 teilbar zu sein.
Monotonie
📘 Definition Die Monotonie wird durch zwei nebeneinander liegende Stellen $x_1$ und $x_2$ und deren zugehörige Funktionswerte $f(x_1)$ und $f(x_2)$ beschrieben.
| monoton steigend in M | $\forall x\in \text{M:}\ x_1\lt x_2\Rightarrow f(x_1)\le f(x_2)$ |
| monoton fallend in M | $\forall x\in \text{M:}\ x_1\lt x_2\Rightarrow f(x_1)\ge f(x_2)$ |
| streng monoton steigend in M | $\forall x\in \text{M:}\ x_1\lt x_2\Rightarrow f(x_1)\lt f(x_2)$ |
| streng monoton fallend in M | $\forall x\in \text{M:}\ x_1\lt x_2\Rightarrow f(x_1)\gt f(x_2)$ |
Die Monotonie beschreibt das Funktionsverhalten
- entweder innerhalb eines gegebenen Intervalls M
- oder (in seltenen Fällen) innerhalb der gesamten Definitionsmenge D = M
Extremstellen, Extrempunkte
📘 Definition Die
| p ist Maximumstelle in M | $\forall x\in \text{M:}\ f(x) \le f(p)$ |
| p ist Minimumstelle in M | $\forall x\in \text{M:}\ f(x) \ge f(p)$ |
| p ist Extremstelle in M | p ist Maximumstelle oder Minimumstelle |
Globale Extremstelle
Eine Maximumstelle bzw. Minimumstelle heißt „global“, wenn sie im gesamten Definitionsbereich den maximalen bzw. minimalen Funktionswert annimmt.
Lokale Extremstelle
Eine Maximumstelle bzw. Minimumstelle heißt „lokal“, wenn es eine Umgebung gibt, in der sie maximalen bzw. minimalen Wert annimmt. Diese Umgebung kann beliebig klein sein.
Hochpunkt oder Tiefpunkt
Ist p eine Maximumstelle, dann heißt der Punkt $H=\left(p|f(p)\right)$ Hochpunkt.
Ist p eine Minimumstelle, dann heißt der Punkt $T=\left(p|f(p)\right)$ Tiefpunkt.
Hochpunkte bzw. Tiefpunkte werden als Extrempunkte bezeichnet.
Wie findet man rechnerisch eine Extremstelle?
- Leite den Funktionsterm $f(x)$ ab und bilde $f^\prime (x)$
- Suche die Stelle x, an der $f^{\prime}(x)=0$ ist (Verwende dazu GeoGebra oder deine Fähigkeit, Algebraische Gleichungen zu lösen)
- Die gefundene(n) Stelle(n) x können Extremwerte sein (müssen aber nicht). Berechne zur Kontrolle die zweite Ableitung $f^{\prime\prime}(x)$
- Remember: Der Smiley hilft dir mit der Form des Mundes.
Setze das in 2. gefundene x ein und kontrolliere, ob die Krümmung- 🙂 positiv ist … du hast eine Minimumstelle gefunden
- gleich null ist … du hast einen Sattelstelle gefunden
- 🙁 negativ ist … du hast eine Maximumstelle gefunden
Beispiel
Gegeben ist die Funktion $f(x)=x^3-3x+1$.
- $f(x)=x^3-3x+1$
$f^\prime (x)=3x^2-3$ - $3x^2-3=0$
$x^2-1=0$
$x^2=1$
$x_{1,2}=\pm 1$ - $f^{\prime \prime}(x)=6x$
- Setze die beiden $x_{1,2}$ ein:
$f^{\prime \prime}(-1)=-6$ … 🙁 Maximumstelle
$f^{\prime \prime}(1)=6$ … 🙂 Minimumstelle
Wendestellen, Wendepunkte
📘 Definition
- Eine Stelle p heißt Wendestelle, wenn sich an dieser Stelle das Vorzeichen der Krümmung ändert.
- Ein Punkt $W=\left(p|f(p)\right)$ heißt Wendepunkt, falls p eine Wendestelle ist.
- Die Tangente an den Graph im Wendepunkt heißt Wendetangente.
Die zweite Ableitung am Wendepunkt ist immer gleich Null.
$$f^{\prime \prime}(x)=0$$
Umgekehrt gibt es (vergleichbar mit der Alternative Extremwert – Sattelpunkt) Stellen, an denen die zweite Ableitung gleich Null ist, die aber dennoch keinen Wendepunkt darstellen.
Um zu zeigen, dass es sich in diesem Fall ($f^{\prime \prime}(x)=0$) um eine Wendestelle handelt, muss gezeigt werden, dass die dritte Ableitung an dieser Stelle nicht den Wert Null annimmt.
Beispiel
Gegeben ist wie oben die Funktion $f(x)=x^3-3x+1$, ermittle, ob die Funktion einen Wendepunkt besitzt.
- $f^{\prime \prime}(x)=6x$
- $6x=0$
$x=0$ - $f^{\prime \prime \prime}(0)=6$
- Die dritte Ableitung an dieser Stelle ist gleich 6 (>0), das bedeutet, es handelt sich bei der Nullstelle der zweiten Ableitung auch tatsächlich um einen Wendepunkt (auch wenn man hier nicht extra „x=0“ einsetzen musste, die dritte Ableitung dieser Polynomfunktion ist konstant gleich 6)