Der Vorgang der Ableitung kann mit jeder Funktion (mehr oder weniger explizit) durchgeführt werden. Da jede Ableitung erneut eine Funktion (zumeist also einen Funktionsterm) ergibt, kann dieser Vorgang selbstverständlich endlos wiederholt werden.
Beispiel
Gegeben ist die Polynomfunktion $f(x)=x^3-2x^2+1$. Ermittle die (erste) Ableitung und leite diese erneut ab.
$f^{\prime} (x)=3x^2-4x$
$f^{\prime\prime}(x)=6x-4$
Bezeichnung
Um anzugeben, wie oft eine Funktion $f(x)$ abgeleitet wurde, spricht man von so genannter
- erster Ableitung … $f^{\prime}(x)$
- zweiter Ableitung … $f^{\prime\prime}(x)$
- dritter Ableitung … $f^{\prime\prime\prime}(x)$
- usw.
- n-ter Ableitung $f^{(n)}(x)$
Bedeutung der höheren Ableitungen
Erste Ableitung
Die Bedeutung der ersten Ableitung ist von Beginn an klar:
Der Wert der Ableitung $f^{\prime}(x)$ an der Stelle $x=x_0$ ist die
- Steigung der Tangente an die Funktion $f(x)$, bzw.
- die Steigung der Funktion $f(x)$ an der Stelle $x_0$, bzw.
- die momentane Änderungsrate der Funktion $f(x)$ an der Stelle $x_0$
Zweite Ableitung
Leitet man die erste Ableitung erneut ab, so erhält man also die
- Steigung der Funktion $f^{\prime}(x)$ an der Stelle $x_0$, bzw.
- die momentane Änderungsrate der Funktion $f^{\prime}(x)$ an der Stelle $x_0$
Jede Ableitung ist jene Funktion, die beschreibt, wie schnell sich die Funktionswerte beim Verändern der x-Werte verändern,
Die Ableitung der Funktion $f^{\prime\prime}(x)$ beschreibt also, wie schnell sich die Steigung der ursprünglichen Funktion ändert. Ändern sich die Steigungswerte schnell ( $f^{\prime\prime}(x)$ hat große Werte), so ist der Funktionsgraph stark gekrümmt. Ist der Funktionsgraph wenig gekrümmt, so hat $f^{\prime\prime}(x)$ sehr kleine Werte.
Zum Beispiel ist bei der linearen Funktion $f^{\prime\prime}(x)=0$ für alle x. Die Gerade ist NICHT gekrümmt.
- $f(x)\dots$ Funktionswerte
- $f^{\prime}(x)\dots$ Steigung
- $f^{\prime\prime}(x)\dots$ Krümmung