7.B12 Grafische Interpretation

in Arbeit

Funktion wird zur Ableitung
Steigung wird zur neuen Funktion

Die Ableitung ist eine Operation, die aus einer Funktion eine zugehörige Ableitungsfunktion erzeugt. Mit der Funktion erhält man an jeder Stelle den Funktionswert, mit der Ableitungsfunktion erhält man an jeder Stelle die Steigung der ursprünglichen Funktion als Ableitungsfunktionswert.

Natürlich ist es möglich, die Funktion und Ableitungsfunktion in ein und dasselbe Koordinatensystem zu zeichnen.

Mit GeoGebra ganz einfach, aber worum es geht… die Ableitungsfunktion händisch in das Koordinatensystem der Funktion zu skizzieren.

Zu Beginn die Lineare Funktion

Gegeben ist eine lineare Funktion

Die Funktion ist in blau eingezeichnet. Die Ableitungsfunktion ist mit (und ohne) GeoGebra einfach berechnet: Die Steigung der Funktion f ist an jeder Stelle gleich groß, nämlich

Diese konstante Funktion (die Ableitung) ist hier schwarz strichliert im selben Koordinatensystem eingezeichnet.

Steigerung: Die quadratische Funktion

Die quadratische Funktion (im Bild: $f(x)=0,5\, x^2$ hat an jedem Punkt unterschiedliche Steigung.

• Vor dem Nullpunkt ist die Funktion streng monoton fallend, die Steigung ist an jedem Punkt negativ. Die eingezeichnete strichlierte Linie zeigt dies an. Sie ist negativ.
• Im Nullpunkt wechselt die Funktion ihre Monotonie. Die Steigung an dieser Stelle ist gleich null. Die strichlierte Linie der Ableitungsfunktion hat dort genau eine Nullstelle.
• Nun wächst die Steigung wieder, die Funktion wird immer steiler, je weiter das x nach rechts wandert. Die strichlierte Ableitungsfunktion steigt in den positiven Bereich und immer weiter an. 

Besonderheit: Hat die (blaue) Funktion f(x) eine Stelle, bei der die Monotonie wechselt (man nennt diese Stelle einen Tief- bzw. Hochpunkt), so besitzt die Ableitung eine Nullstelle.

Schritt für Schritt

Vorgangsweise: Skizziere nun die Ableitungsfunktion für eine gegebene Funktion f(x). 

1. Gegeben ist die blaue Funktion $f(x)$
2. Suche die Extremstellen der Funktion $f(x)$, es sind die Nullstellen der $\cdots$ Ableitungsfunktion.
3. Die $\cdots$ Ableitungsfunktion ist im Negativen, wenn die Funktion $f(x)$ fällt, im Positiven, wenn die Funktion $f(x)$ steigt.
4. Der Wendepunkt der Funktion $f(x)$ ist Extremwert der $\dots$ Ableitungsfunktion.
5. Die $\cdots$ Ableitungsfunktion beginnt im Negativen
6. und endet knapp unter Null

Allgemeine Vorgangsweise

1. Suche Extremstellen der Funktion und zeichne sie als Nullstellen der Ableitung ein.
2. verdeutliche zwischen den Nullstellen, ob die Ableitung oberhalb (Steigung der Funktion positiv) oder unterhalb (Steigung der Funktion negativ) der x-Achse liegt.
3. Suche Wendestellen der Funktion, diese werden zu Extremwerten der Ableitung
4. Zeichne die Ableitung fertig. Beachte, wo die Funktion große und wo sie kleine Steigungen aufweist. Genaue Werte sind nicht von Relevanz.