Der Begriff des Grenzwertes spielt in der höheren Mathematik eine besonders bedeutende Rolle.
Dieser Begriff ist zwar logisch sehr leicht verständlich, wie aber viele andere mathematische Zusammenhänge tatsächlich sehr schwer mathematisch (das heißt mit unmissverständlichen, eindeutigen Definitionen) zu fassen.
Grenzwert einer Zahlenfolge
$\frac{1}{3}\approx 0,3; 0,33; 0,333; 0,3333; \dots$
$a_n=\langle 0,3; 0,33; 0,333; 0,3333; \dots \rangle$
Die oben angegebene Zahlenfolge zu Annäherung des Grenzwertes hat folgende Eigenschaften.
- Jedes Folgeglied ist größer als das vorherige
- Kein Folgeglied ist größer als $\frac{1}{3}$
Die oben angegebene Folge $\langle 0,3; 0,33; 0,333; 0,3333; \dots \rangle$ zeichnet sich dadurch aus, dass der Wert $\frac{1}{3}$ beliebig genau angenähert , der Abstand zum Zahlenwert des Bruches $\frac{1}{3}$ beliebig klein gemacht werden kann.
Wie definiert man mathematisch einen Grenzwert.
- Du möchtest zeigen, dass die Folge $\langle a_n \rangle$ den Grenzwert $a$ besitzt
- Nimm eine beliebig kleine Entfernung $\varepsilon$ (Umgebung) von $a$ an und zeige, dass
- alle Folgeglieder ab einem bestimmten, berechenbaren Folgeglied $a_i$ alle (!) weiteren Folgeglieder weniger weit als $\varepsilon$ von $a$ entfernt sind.
- Du kannst also zu jedem beliebig kleinen $\varepsilon$ ein $i$ finden, sodass ab dem $i$-ten Folgeglied alle weiteren Folgeglieder innerhalb der $\varepsilon$-Umgebung zu liegen kommen.
- Dass $a$ tatsächlich ein Grenzwert ist, reicht es also nicht, dass unendlich viele Werte innerhalb der $\varepsilon$-Umgebung liegen, sondern tatsächlich alle bis auf endlich viele.
Beispiel
Ist $a=-1$ ein Grenzwert der Folge $a_n=(-1)^n$?
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Nein, denn es gibt kein Folgeglied $a_i$, sodass alle weiteren Folgeglieder innerhalb einer beliebig kleinen Umgebung um $a=-1$ liegen.
Beispiel
Berechne den Grenzwert der Zahlenfolge $$a_n = \frac{2n+1}{n}$$
- Ermittlung des Grenzwertes durch Probieren: Setze $n=1000$, man erhält: $a_{1000}=\frac{2001}{1000}\approx 2$
- Ermittlung des Grenzwertes durch Kürzen des Bruches durch die höchste Potenz von $n$: $$a_n = \frac{2n+1}{n} = \frac{2+\frac{1}{n}}{1}$$ und bilden des Grenzwertes $$\lim_{n\rightarrow \infty}\frac{2+\frac{1}{n}}{1}=2$$
- Ermitteln eines $i$ zu einem beliebigen $\varepsilon$.
\begin{align}
\left| \frac{2i+1}{i} \ – \ 2 \right| &< \varepsilon \\
\left| \frac{2i+1}{i} \ – \ \frac{2i}{i} \right| &< \varepsilon \\
\left| \frac{2i+1-2i}{i} \right| &< \varepsilon \\
\left| \frac{1}{i} \right| &< \varepsilon \\
\end{align}
$i$ ist eine natürliche Zahl, $\varepsilon$ ist eine Umgebung und kann immer positiv gewählt werden.
Die Betragstriche können wegfallen. - Für ein bestimmtes, frei gewähltes $\varepsilon$ kann man also das zugehörige $i$ berechnen. Auch für alle größeren $i$ gilt die Bedingung.
\begin{align}
\frac{1}{i} &< \varepsilon \\
\frac{1}{\varepsilon} &< i \\
i &> \frac{1}{\varepsilon}
\end{align} - $a=2$ ist der Grenzwert!