RP_2023_HT

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Teil 1

Beispiel 1 – Zahlen und Zahlenmengen

• Du musst die fünf Mengen beherrschen:
  • Natürliche Zahlen
  • Ganze Zahlen
  • Rationale Zahlen
  • Reelle Zahlen
  • Komplexe Zahlen
• Die Wurzel aus einer Primzahl ist keine rationale Zahl (sie ist nicht endend und nicht periodisch). Beispiele: $\sqrt{2}, \sqrt{3}, \dots$
• Das Vielfache (Multiplikation mit $r\in\mathbb{R}$) einer nicht rationalen Zahl bleibt nicht rational.
• Lösung: [_][X][_][X][_]

Beispiel 2 – Flugtickets

• Das Prozentzeichen steht für $\cdot \frac{1}{100}$. Mit 95% ist also immer $95\cdot \frac{1}{100}=0,95$ gemeint.
• Um einen Wert einer Variablen prozentuell zu verändern, multipliziere mit Werten größer oder kleiner als $1,00$, je nachdem, ob sie vergrößert oder verkleinert werden sollen.
  Beispiel: 95% von x berechnest du: $0.95\cdot x$
• Wenn du beim Berechnen des Mittelwerts durch die Anzahl dividierst, bedeutet das, dass du als Faktor immer den Prozentwert erhältst. Du kannst diese ($\frac{1}{5}=0,2$) in deinen Termen verwenden.
• Lösung: $\frac{1}{5}x+\frac{4}{5}x\cdot 0,95$

Beispiel 3 – Smoothie

• Um zwei Variable ermitteln zu können (x und y), benötigst du zwei Gleichungen mit eben diesen.
• Prinzipiell immer genau auf Einheiten achten, das heißt aber nicht, dass im Beispiel nicht Gramm und auch Milligramm verwendet werden können.
  Überlege: Wenn ich x in Gramm gegeben habe, wie muss ich rechnen, dass ich auf den VitC Gehalt in Milligramm kommen. Dann darf bei der Gleichung auch 100mg (als geforderter VitC Gehalt) herauskommen.
•  Lösung:
  gl1: $x+y=75$
  gl2: $\frac{x}{100}\cdot 177+\frac{y}{100}\cdot 45=100$
  
  $x=50\,\mathrm{g}$, $y=25\,\mathrm{g}$

Beispiel 4 – Graphische Darstellung von Vektoren

• Grafisch mit Vektoren rechnen bedeutet:
  • Addition – Hänge an die Spitze des ersten Vektors den Schaft des zweiten Vektors. Ergebnis ist der Vektor vom Schaft des ersten bis zur Spitze des zweiten Vektors
  • Subtraktion – Addiere den negativen Vektor (wechsle Spitze und Schaft). Aus $\vec{a}-\vec{b}$ wird also $\vec{a}+\left( -\vec{b} \right)$
  • Multiplikation – Die Richtung des Vektors bleibt gleich, die Länge vervielfacht sich um den multiplizierten Faktor
• Achte darauf, dass ein Vektor keine bestimmte Lage im Koordinatensystem hat. Nur seine Richtung und Länge sind festgelegt.
  Im Beispiel: … ausgehend vom Punkt P… Dann zeichne den Vektor auch genau dort ein!
• Du kannst die Koordinaten der Vektoren $\vec{a} und \vec{c}$ auch ablesen und damit rechnen. Wenn dir das leichter fällt.
• Lösung:
  

Beispiel 5 – Geradengleichungen

• Die Parameterdarstellung $\vec{V}=P+t\cdot \vec{a}$ der Geraden beinhaltet Punkt $P$, durch den die Gerade verläuft und ihre Richtung entlang des Vektors $\vec{a}$.
• Identische und Parallele Geraden haben Richtungsvektoren, die identisch oder ein Vielfaches voneinander sind.
• Stelle sicher, dass ein Punkt der Gerade $g$ auch auf der Geraden $h$ liegt.
• Eine Parameterform ist eigentlich ein Gleichungssystem. Gleichung 1 ist die erste Zeile (x-Koordinate) und Gleichung 2 ist die zweite Zeile (y-Koordinate). Damit kannst du rechnen
• Lösung: $a=2$, $b=1$

 

Beispiel 6 – Dreieck

• $sin(\alpha)=\frac{G}{H}$, $cos(\alpha)=\frac{A}{H}$ und $tan(\alpha)=\frac{G}{A}$
• Beschrifte das Dreieck mit A(nkathete), G(egenkathete) und H(ypothenuse) am besten in zwei Farben. Einmal ausgehend von Winkel $\alpha$ und einmal ausgehend von Winkel $\beta$.
  
• In einem rechtwinkeligen Dreieck ist $90°-\alpha = \beta$ und umgekehrt $90°-\beta = \alpha$
• Lösung: [X][_][_][_][X]

 

Beispiel 7 – Graph einer Polynomfunktion

• Wie sehen Polynomfunktionen, vor allem 2., 3. und 4. Grades im Allgemeinen aus?
• Hilfreich ist es, Polynomfunktionen, die in Form von Graphen gegeben sind, in Termform auch in GeoGebra imitieren zu können. Verwende dazu den Produkt-Null-Satz bzw. den Satz von Vieta.
• Lösung:
  

Beispiel 8 – Länge einer Kerze

• Wie stellt man Gleichungen für Umkehraufgaben auf? Punkte mit den Koordinaten P(x,y) werden zu gl1: f(x)=y.
• Auch Geraden können als Umkehraufgaben interpretiert werden.
• Verwende hier die Messwerte f(0)=10 bzw. f(120)=4.
• Lösung: $L(t)=10-\frac{1}{20}t$

Beispiel 9 – Parameter einer quadratischen Funktion

• Umkehraufgabe mit ein wenig Vorwissen: Fehlt beim Term der Polynomfunktion zweiten Grades der Summand $a_1\cdot x$, dann ist die Funktion automatisch symmetrisch zur $y$-Achse und ihr Hoch- bzw. Tiefpunkt liegt an der Stelle $x=0$.
• Die Gleichungen zur Verwendung müssen deshalb mit Bedacht gewählt werden, die Eingabe der Gleichung gl1: $f^\prime (0)=0$ wäre überflüssig, weil im Term der Koeffizient von $x$ ohnehin schon fehlt.
• Lösung: a=2, b=-2

Beispiel 10 – Nullstellen, Extremstellen, Wendestellen

• Polynomfunktionen vom Grad n haben maximal n Nullstellen.
• Ist n ungerade, dann liegt mindestens eine (!) Nullstelle vor.
• Ermittelt man Extremstellen oder Wendestellen einer Funktion, ist es sinnvoll, den Grad der entsprechenden Ableitung bzw. zweiten Ableitung zu ermitteln und wieder im Sinne der Nullstellen zu überlegen.
• Lösung: [_][_][X][_][X]

Beispiel 11 – Jahreszinssatz

• Die prozentuelle Zunahme von 8,62% lässt sich durch eine Multiplikation mit dem Faktor $1,0862$ darstellen.
• $K_0$ ist der Ausgangswert, also ist der neue Wert (nach n=6 Jahren) $K_n=K_0\cdot 1,0862$
• Lösung: $i=0,0138$

Beispiel 12 – Windrad

• Hierzu gibt es wenig wichtige Hinweise. Achte darauf, nicht „Radius“ und „Durchmesser“ zu verwechseln
• Lösung: Rotordurchmesser 120m, Zeit für volle Umdrehung 12s

 

Beispiel 13 – Tangentensteigung

• Der Differenzenquotient lautet $\frac{f(x_2)-f(x_1)}{x_2-x_1}$
• Die Tangentensteigung entspricht dem Grenzwert des Differenzenquotienten mit $x_2\rightarrow x_1$
• Eine alternative Schreibweise des Differenzenquotienten lautet $\frac{f(x_0+h)-f(x_0}{h}$
• Bei der alternativen Schreibweise muss $h\rightarrow 0$ gehen.
• Lösung: [_][_][_][X][X]

Beispiel 14 – Radfahrerin

• Die Ableitung einer Funktion beschreibt deren Steigung.
• Positive Steigung bedeutet streng monotones Wachstum.
• Evt. zum Verständnis: Die Ableitung der Geschwindigkeit ist das Geschwindigkeitswachstum also die Beschleunigung.
• Lösung: Die Geschwindigkeit der Radfahrerin nimmt in den ersten Sekunden ununterbrochen zu.

Beispiel 15 – Produktionskosten

• Die Grenzkostenfunktion ist die Ableitung der Kostenfunktion.
• Deshalb ist die Kostenfunktion die Stammfunktion der Grenzkostenfunktion.
• Zur Bestimmung der Integrationskonstante benötigt man eine Randbedingung, hier die Fixkosten: K(0)=Fixkosten.
• Lösung: $0,0001x^3-3x^2+3500x+200000$

Beispiel 16 – Ableitungsfunktion

• Die Stammfunktion einer konstanten Funktion ist eine lineare Funktion.
• $f(x)=k$ führt zu $F(x)=kx+c$
• Für die Bestimmung der Integrationskonstante benötigt man wiederum eine Randbedingung, hier $f(0)=2$
• Lösung:
  

Beispiel 17 – Punkte auf einem Graphen

• Erste Ableitung gleich Null: Hoch- oder Tiefpunkt
• Zweite Ableitung gleich Null: Wendepunkt
• Erste Ableitung positiv oder negativ: monoton steigend oder monoton fallend
• Zweite Ableitung positiv oder negativ: Smiley lachend oder traurig (Krümmung)
• Lösung: CFAB

Beispiel 18 – Flächeninhalt

• Ein Flächeninhalt ist per Definition immer positiv.
• Das bestimmte Integral ist negativ, wenn die zugehörigen Funktionswerte negativ sind.
• Lösung: [X][X][_][_][_]

Beispiel 19 – Monatsgehälter

• Das insgesamt ausbezahlte Gehalt beträgt:
  • für alle: $40\cdot 2280,50$
  • für Abteilung 1: $14\cdot d1$
  • für Abteilung 2: $26\cdot 2200$
• Die Gleichung, die zur Antwort führt, und generell für Durchschnittsaufgaben sinnvoll anwendbar ist, führt über die gesamte ausbezahlte Summe:
• $40\cdot 2280,50=14\cdot d1+ 26\cdot 2200$
• Lösung: d1=2430€

Beispiel 20 – Zufallsversuch

• Großteils werden hier Ungleichungen verglichen. $X\ge 3$ bedeutet dasselbe wie $X>2$ wenn in den natürlichen Zahlen gelöst wird.
• Die Gegenwahrscheinlichkeit (bei Antwort F) gibt die Möglichkeit, für die Beschreibung $P(X\ge 3)=P(X=0)\vee P(X=1)\vee P(X=2)\vee P(X=3)$ gleichzusetzen mit der Gegenwahrscheinlichkeit $1-(P(X=4)\vee  P(X=5)\vee P(X=6)\vee P(X=7))$
• Lösung: DFAE

Beispiel 21– Kartenspiel

• „mindestens“ 1x ungerade bedeutet: Alles, nur nicht 0x ungerade, also dessen Gegenwahrscheinlichkeit ist zu berechnen.
• Beim zweimaligen Ziehen bedeutet dies $1-P(gerade)\cdot P(gerade)$
• Lösung: Die Gleichung lautet $1-\frac{3}{8}\cdot \frac{2}{7}=0,893$

Beispiel 22 – Bitkombinationen

• Die Darstellung des Bytes ist ähnlich der Versuchsabfolge in Verteilungsbeispielen: 11100000, 11010000, oder auch 00100110 sind unterschiedliche „Wege“ durchs System.
• Lösung: [_][_][_][X][_][_]

Beispiel 23 – Glücksrad

• Der Erwartungswert setzt sich aus den einzelnen Gewinnmöglichkeiten zusammen: $0\cdot \frac{1}{8}+a\cdot \frac{1}{8}+0\cdot \frac{1}{8}+2a\cdot \frac{1}{8}+\dots+a\cdot \frac{1}{8}=4,5$
• Lösung: a=4

Beispiel 24 – Binomialverteilung

• Die höchste Wahrscheinlichkeit (der höchste Balken) bei der Binomialverteilung befindet sich beim Erwartungswert ($E=n\cdot p$), dieser kann mittig ($p\approx 0,5$) sein, allerdings auch am linken ($0<p<0,5$) oder rechten ($0,5<p<1$) Rand, je nach gegebener Wahrscheinlichkeit p.
• Je weiter ein Balken vom Erwartungswert (Maximum) weg ist, desto kleiner wird er. Die Wahrscheinlichkeit wird also immer geringer, je größer der Abstand zum Erwartungwert ist. Ein Anwachsen wie in Zeile 4  von 7 auf 8 ist nicht konform zur Binomialverteilung.
• Lösung: [_][_][X][_][X]

Teil 2

Beispiel 25a – Schwimmbecken

• Die korrekte Schreibweise von Funktionen besteht aus mehreren Teilen.
  1) Von welcher (Definitions)menge wird in welche Menge abgebildet. Oft gibt es keine Einschränkungen, weswegen $\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}$ nicht selten auftaucht.
  2) Welche Variable bildet das Argument der Funktion ab? Wenn dir die Schreibweise ungeläufig ist, kannst du genau diese Variable oft mit „x“ ersetzen, um eine Einordnung der Funktion zu erhalten.
• Lineare Funktionen haben die Form $y=k\cdot x+d$ oder allgemeiner geschrieben $y=a_1\cdot x+a_0$
• Quadratische Funktionen haben die Form $y=a_2\cdot x^2 + a_1\cdot x+a_0$
• Quadratwurzelfunktionen enthalten als Potenz von x den Exponenten $\frac{1}{2}$ bzw. einfach die Wurzel aus x.
• Lösung: [_][X][_] und [X][_][_]

Beispiel 25b – Schwimmbecken

• Das „indirekte Verhältnis“ ist eine Funktion der Form $f(x)=\frac{k}{x}$. Die wichtigste Eigenschaft ist, dass sich beim Verdoppeln, Verdreifachen, usw. des Argumentes, der Funktionswert halbiert, drittelt, usw.
• In dieser Aufgabe ist also für 2 Pumpen ($p$) die Fülldauer ($T(p)$) gleich 19 Stunden. Es gilt also (für die kleine Umkehraufgabe)
  gl1: $T(2)=19$ also ist $\frac{k}{2}=19$ oder $k=38$. Damit ist die Funktion ermittelt
• Lösung für 1): $T(p)=\frac{38}{p}$

• Erkenne Aufgaben, die Integralrechnung im Kontext verlangen daran, dass die y-Achse eine gebrochene Einheit, also eine Veränderungsrate, besitzt, die zur x-Achse passt.
  Hier: x-Achse: $\mathrm{h}$, y-Achse $\mathrm{m^3/h}$
• Als physikalische Anwendung bei der Integralrechnung ist die Integration der Änderungsrate über die Zeit das Volumen, hier in $\mathrm{m^3}$
• Lösung für 2): $\int_{0}^6 W(t)\cdot dt=11,625$. Die Abnahme der Wassermenge beträgt 11,625 $\mathrm{m^3}$ 

Beispiel 25c – Schwimmbecken

• Nullstellen der ersten Ableitung bilden Extremwerte der Funktion selbst.
• Nullstellen der zweiten Ableitung bilden Extremwerte der ersten Ableitung.
• Sucht man Stellen, an denen eine Funkionen maximale Steilheit besitzen, so ermittelt man
  = Extremwerte der ersten Ableitung bzw.
  = Nullstellen der zweiten Ableitung bzw.
  = Wendepunkte
• Am Wendepunkt besitzt eine Funktion maximale (oder minimale) Steigung.
• Lösung: $f^\prime \prime(x)=0$ führt zu $x=2,5$

Beispiel 26a – Fitnessuhren

• • Die Steigung berechnet sich aus dem Steigungsdreieck, dividiere die senkrechte Kathete durch die horizontale Kathete und multipliziere mit 100.

• Lösung: $a=39.8 \%$

Beispiel 26b1 – Fitnessuhren

• $p$ ist die Wahrscheinlichkeit, eine Uhr zu besitzen, $(1-p)$ ist das Gegenteil davon, also keine Uhr zu besitzen.
• „Niemand„, also P(X=0)=… ist mit – aber auch ohne Binomialverteilungsformel sehr leicht zu berechnen.
• Mit dem Wort „mindestens“ sollte immer der Verdacht auf einen Gegenwahrscheinlichkeit erweckt werden.
• Lösung: [_][_][X] und [X][_][_]

Beispiel 26c1 – Fitnessuhren

• Die Höhe der Balken ist die Herausforderung, die aufzutragenden Werte werden durch die Klassenbreite dividiert.
• 24/60 sind 40%, also 0.4.
  Die Klassenbreite ist 20, also wird die Höhe 0.4/20=0.02 aufgetragen.
• usw.
• Lösung
• 

Beispiel 26c2 – Fitnessuhren

• Den Median erhält man nach abzählen der sortierten Werte.
• Die ersten 24 Werte liegen im Bereich [0;20[,
• die folgenden 30 Werte im Bereich [20;30[,
• die letzten 6 im Bereich [30;50[.
• Also liegt der 30 bzw. der 31. Wert zur Ermittlung (von Beginn an) im mittleren Segment
• Lösung: Siehe Punkte oben.

Beispiel 27a1 – Sauerstoffverbrauch von Säugetieren

• $S(m)=a\cdot m^{0,75}$
• $S(2m)=a\cdot (2m)^{0,75}=a\cdot 2^{0,75}\cdot m^{0,75}= 2^{0,75}\cdot S(m)$
• Lösung: Der Sauerstoffverbrauch ist $2^{0,75}$ mal so hoch.

Beispiel 27b1 – Sauerstoffverbrauch von Säugetieren

• Die Tangentensteigung an I soll im gesuchten Punkt gleich groß sein, wie der Differenzenquotient zwischen Ratte und Katze.
• Sekante zeichnen, parallel verschieben, bis die Funktion „berührt“ wird. Stelle ablesen (x-Koordiante des Berührpunktes)
• Lösung: $x=1$

Beispiel 27c1 – Sauerstoffverbrauch von Säugetieren

• Die Fläche unter der Gerade (das ist ja das bestimmte Integral) hat die Form eines Trapezes.
• $A_{\mathrm{Trapez}}=\frac{a+c}{2}\cdot h$, die Werte $a$, $c$ und $h$ aus der Graphik abgelesen führen zur…
• Lösung: $A_{\mathrm{Trapez}}=\frac{u(t_1)+d}{2}\cdot t_1$

Beispiel 27c2 – Sauerstoffverbrauch von Säugetieren

• Multipliziere die Einheiten der Achsen ($\mathrm{L/min}$ und $\mathrm{min}$), du erhältst $\mathrm{L}$, also eine Volumseinheit.
• Lösung: Sauerstoffverbrauch in L in der Zeit 0 bis $t_1$

Beispiel 28a1 – Flugreisen

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Beispiel 28b1 – Flugreisen

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Beispiel 28c1 – Flugreisen

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