Normalverteilung I

Mit Hilfe von Verteilungsfunktionen berechnet man Wahrscheinlichkeiten bestimmter mathematischer Modelle mit festgelegten Voraussetzungen.
Eine Wahrscheinlichkeitsverteilung, die für stetig verteilte Zufallsvariable der (diskreten) Binomialverteilung entspricht, wird durch eine so genannte Gauß’sche Glockenkurve beschrieben und tritt häufig bei verteilten Größen in Naturwissenschaft und Technik auf.

1. Definition

Eine normalverteilte Zufallsvariable, die um den Erwartungswert $\mu$ mit der Standardabweichung $\sigma$ verteilt ist, wird durch die Gauss’sche Glockenkurvenfunktion beschrieben.

$$f(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\cdot e^{-\frac{1}{2} \cdot \left( \frac{x-\mu}{\sigma}
\right)^2}$$

Graph einer Normalverteilung mit Erwartungswert $\mu$ und Standardabweichung $\sigma$
Der Erwartungswert – Parameter $\mu$

Der erste Parameter gibt den Extremwert der Gauß’schen Glockenkurve an. Es handelt sich um den Erwartungswert der Normalverteilung bzw. um den Mittelwert von normalverteilten Zufallsgrößen.

Die Standardabweichung – Parameter $\sigma$

Die durchschnittliche Abweichung der normalverteilten Zufallsgrößen wird durch die Standardabweichung beschrieben. Die zwei Stellen $\mu \pm \sigma$ stellen die Wendepunkte des Funktionsgraphen dar.

2. Eigenschaften

Eine Besonderheit von stetigen Wahrscheinlichkeitsverteilungen ist selbstverständlich auch für die Normalverteilung gültig.
Die Wahrscheinlichkeit, dass die Zufallsvariable einen bestimmten Wert a annimmt, ist immer gleich Null.

$$P(X=a)=0$$
Wahrscheinlichkeiten von stetig verteilten Zufallsvariablen werden ausschließlich für Intervalle ermittelt.

Linksseitiges, abgeschlossenes und rechtsseitiges Intervall
Ein-, zwei-, dreifache Standardabweichung

Die Wahrscheinlichkeit von durch (Vielfache von) definierten Umgebungen um den Erwartungswert ist unabhängig von und immer gleich groß.

$P(\mu – \sigma < X < \mu + \sigma )\approx 0.683$
$P(\mu – 2\sigma < X < \mu + 2\sigma )\approx 0.954$
$P(\mu – 3\sigma < X < \mu + 3\sigma )\approx 0.997$

Unveränderliche Wahrscheinlichkeiten für die Intervalle $\mu \pm \sigma, 2\sigma, 3\sigma$

3. Berechnung der Wahrscheinlichkeit

3.1 GeoGebra

Zur Berechnung von $P(X < a)$ verwende in CAS den Befehl $\mathtt{Normal(\mu,\sigma,a)}$.

Die Wahrscheinlichkeit, dass die Zufallsvariable innerhalb eines Intervalls $[a;b]$ zu liegen kommt, bedarf zweier Eingabebefehle in CAS.
$P(a < X < b) = P( X < b )-P(X < a)$

Alternativ dazu arbeite mit dem Wahrscheinlichkeitsrechner.

3.2 Standardnormalverteilung und zugehörige Tabelle

Ohne technologische Unterstützung muss man zur Ermittlung von Wahrscheinlichkeit eine standardisierte Form der Normalverteilung ($\mu=0$ und $\sigma = 1$ ) und eine zugehörige Tabelle verwenden.

Vorgangsweise
  1. Wandle die gefragte Intervallgrenze $a$ in sein Äquivalent in der Standardnormalverteilung um. Das funktioniert immer gleich: $z_a=\frac{z-\mu}{\sigma}$
  2. Lies die zu $z_a$ zugehörige Wahrscheinlichkeit aus der Tabelle ab. Der abgelesene Wert ist dein Ergebnis.

Die Normalverteilung für $\mu = 0$ und $\sigma = 1$ heißt Standardnormalverteilung $\Psi(z)$.

4. Approximation der Binomialverteilung

Die Normalverteilung kann zur Approximation der Binomialverteilung (oft bei großer Anzahl an Wiederholungen n) verwendet werden

Faustregel:
Eine Binomialverteilung kann näherungsweise durch die Normalverteilung ersetzt werden, wenn folgendes gilt: $$n\cdot p\cdot (1-p)>9$$
Erwartungswert und Standardabweichung

Die Parameter für die Normalveteilung berechnet man wie gewohnt:
$E=\mu=n\cdot p$
$\sigma=\sqrt{n\cdot p\cdot (1-p)}$

★★★☆☆
Schwierigkeit
★★★☆☆
Wichtigkeit