7.1 Gleichungen und Polynomfunktionen

Um dein Wissen detailliert zu vertiefen, verwende Malle, Koth, Woschitz, Malle, Salzger, Ulovec (2019): Mathematik verstehen 7. Wien, Österreich: ÖBV..

In der Algebra (einem Teilgebiet der Mathematik, in dem es um das symbolische Rechnen geht  – Variable, Gleichungen, etc.), ist das Umformen bzw. Lösen von Gleichungen eine zentrale Fragestellung.

 

Im Zusammenhang mit Polynomfunktionen 

$$p\left(x\right)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\dots +a_1x+a_0$$

sind folgende Aufgabgestellungen identisch und werden erst gar nicht unterschiedlich behandelt:

    1. Finden von Nullstellen von Polynomfunktionen $p(x)$
    2. Faktorisieren von Polynomfunktionen $p(x)$
    3. Finden von Lösungen der so genannten algebraischen Gleichung $p(x)=0$

Algebraische Gleichungen

Begriffserklärung

Polynom
$a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\dots +a_1x+a_0$
Algebraische Gleichung
$a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\dots +a_1x+a_0=0$

Beispiel: quadratische Gleichung

Eine algebraische Gleichung zweiten Grades $x^2+px+q=0$ hat eine bekannte Lösungsformel.

$$x_{1,2}=-\frac{p}{2}\pm \sqrt{\frac{p^2}{4}-q}$$

Sie hat (bei positiver Diskriminante) also zwei Lösungen $x_1$ und $x_2$.

Im Zusammenhang mit dem Produkt-Null-Satz ergibt sich damit für eine mögliche Faktorisierung für die Lösungen $x_1$ und $x_2$.

$$x^2+px+q=(x-x_1)\cdot(x-x_2)$$

Pass auf: Mit den Lösungen einer algebraischen Gleichung kann zugleich eine Faktorisierung des Polynoms vorgenommen werden.

Produkt-Null-Satz Ein Produkt ist immer genau dann gleich Null, wenn (mindestens) einer der Faktoren den Wert Null annimmt.

 

 BSP 
Berechne die Lösungen der quadratischen Gleichung und schreibe die zugehörige Faktorisierung an.

Gleichbedeutend sind also

  1. Die Polynomfunktion hat an den Stellen -2 und 4 zwei Nullstellen.
  2. Die Lösungen der Gleichung $p(x)=0$ sind $x_1=-2$ und $x_2=4$
  3. Um das Polynom $p(x)$ in Faktoren zu zerlegen, nimmt man die beiden Lösungen $x_1=-2$ und $x_2=4$ und setzt sie in $(x-x_1)\cdot(x-x_2)$ zu $(x+2)\cdot (x-4)$ ein.

Diese Schritte sind für jede Polynomfunktion in der selben Art und Weise durchführbar. Dabei können viele unterschiedliche Fälle auftreten. Nur wenn die Polynomfunktion tatsächlich n verschiedene Nullstellen besitzt, kann das Polynom in n verschiedene Faktoren zerlegt werden.