Loviscach ist Mathe

Zwei wunderbar geniale Vorlesungsschnipsel von Jörn Loviscach.

Zur Vorbereitung:

Näherung der Euler’schen Zahl

Falls die Erinnerung verblasst ist. Die Eulersche Zahl kann aus der (in unendlich kleine Teile zerteilte Verzinsung) berechnet werden.

\[
\lim_{n\to\infty}\left(1+\frac{1}{n}\right)^n=e
\]

und

\[
\lim_{n\to\infty}\left(1+\frac{x}{n}\right)^n=e^x
\]

Binomische Formeln

Zur Berechnung von Potenzen von Binomen ist in Erinnerung:

\[
\left( a+b \right) ^2 = a^2+2\ a b+b^2
\]

\[
\left( a+b \right) ^3 = a^3+3\ a^2b+3\ ab^2+b^3
\]

\[
\left( a+b \right) ^4 = a^4+4\ a^3b+6\ a^2 b^2+4\ ab^3+b^4
\]

usw.

Die Koeffizienten erhält man mit dem Pascal’schen Dreieck

\[
1
\]

\[
1 \quad 1
\]

\[
1 \quad 2 \quad 1
\]

\[
1 \quad 3 \quad 3 \quad 1
\]

\[
1 \quad 4 \quad 6 \quad 4 \quad 1
\]

\[
\dots
\]

Das Pascal’sche Dreieck ist nett, aber es wird eben mathematisch verbunden mit dem Binomialkoeffizienten.

\[
1
\]

\[
{1 \choose 0}\quad {1 \choose 1}
\]

\[
{2 \choose 0} \quad {2 \choose 1} \quad {2 \choose 2}
\]

\[
{3 \choose 0} \quad {3 \choose 1}  \quad {3 \choose 2} \quad {3 \choose 3}
\]

\[
{4 \choose 0}\quad {4 \choose 1}\quad   {4 \choose 2} \quad {4 \choose 3} \quad {4 \choose 4}
\]

\[
{\dots}
\]

Also ist z.B.

\[
\left( a+b \right) ^4={4\choose 0} a^4 + {4\choose 1} a^3 b + {4\choose 2} a^2 b^2 + {4\choose 3} a b^3
+{4\choose 4} b^4
\]

oder allgemein

\[
\left( a + b \right) ^n = \sum_{k=0}^{n}{{n \choose k} \cdot a^k \cdot b^{n-k}}
\]

Das sieht so ähnlich aus wie in der Binomialverteilung. Daher vielleicht auch der Name…

\[
\left( p + (1-p) \right) ^n = \sum_{k=0}^{n}{{n \choose k} \cdot p^k \cdot \left( 1-p \right)^{n-k}}
\]

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